极值点偏移问题

函数 $f(x)=2x\ln x-x-a$ 有两个零点 $x_1,x_2$ ,证明 $x_1+x_2>\frac{2}{\sqrt{e}}$

证明：显然 $x_1\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$, $x_2\in \left(\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)$

设 $h(x)=2x\ln x-x$ 则 $h(x_1)=h(x_2)$

设 $L(x)=h(x)-h\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)$ 其中 $x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$

则 $L^{\prime }(x)=h^{\prime }(x)+h^{\prime }\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)=2\ln x+1+2\ln \left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)+1=2\ln \left(x\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)\right)+2$

其中 $x\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)\le {\left(\frac{\left(x+\frac{2}{\sqrt{e}}-x\right)}{2}\right)}^2=\frac{1}{e}$

故 $L^{\prime }(x)\le 2\ln \left(\frac{1}{e}\right)+2=-2+2=0$

故 $L(x)\downarrow$ , $L(x)>{\lim }_{x\to \frac{1}{\sqrt{e}}}L(x)=h\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)-h\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=0$

故 $L(x_1)>0$, 即 $h(x_1)-h\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x_1\right)>0$

又 $h(x_1)=h(x_2)$

故 $h(x_2)>h\left(\frac{2}{\sqrt{e}}-x_1\right)$

$h^{\prime }(x)=2\ln x+1=0⟹h^{\prime }\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=0$

故 $\left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\downarrow ,(\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty )\uparrow$

又 $x_2\in \left(\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)$, $\frac{2}{\sqrt{e}}-x_1\in \left(\frac{1}{\sqrt{e}},\frac{2}{\sqrt{e}}\right)\subset \left(\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)$

故 $x_2>\frac{2}{\sqrt{e}}-x_1$

即 $x_1+x_2>\frac{2}{\sqrt{e}}$