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$$\left[\begin{array}{cccc}-\lambda & a& b& \\ a& -\lambda & b& \\ a& b& -\lambda & \end{array}\right]$$ $$f(t)={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t\frac{\ln (1+y^3)}{y^2}\mathrm{d}y$$

将你提供的数学表达式转为中文文本描述如下：

设函数

$$f(t)={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t\frac{\ln (1+y^3)}{y^2},\mathrm{d}y,$$

且极限

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(t)}{at-\sin t}=b,$$

其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

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文本解释：

• 函数 $f(t)$ 是一个二重积分，外层对 $x$ 从 0 到 1 积分，内层对 $y$ 从 $x$ 到 $t$ 积分。
• 被积函数是 $\frac{\ln (1+y^3)}{y^2}$。
• 给出当 $t$ 从右侧趋于 0 时，$\frac{f(t)}{at-\sin t}$ 的极限为 $b$，这通常用于分析函数在原点附近的行为，可能涉及泰勒展开或洛必达法则等方法求解。\

$${\int }_{\frac{1}{3}}^{3}dy{\int }_{\frac{1}{3}}^3\frac{1}{2x}dx$$